Các công thức Logarit, phương trình mũ và phương trình Logarit

Logarit là gì?

Logarit viết tắt là Log hay thường được gọi là đạo hàm ln, là phép toán nghịch đảo của lũy thừa. Theo đó, logarit của một số là số mũ của cơ số được nâng lên lũy thừa để tạo ra số khác. Hiểu đơn giản, logarit là một phép nhân với số lần lặp đi lặp lại.

Định nghĩa về logarit được thể hiện qua biểu thức sau:

Chúng ta cùng xét một ví dụ cụ thể đơn giản sau. Nếu ta lấy lũy thừa 3 của 2 thì ta có 2³=8. Điều đó có nghĩa là nếu ta lấy logarit cơ số 2 của 8 thì ta sẽ được kết quả là 3.

Nếu bạn chưa thể phân biệt được vị trí của a, b, t. Để khắc phục, bạn hãy nhớ “cơ số vẫn mãi là cơ số” và hình dung sơ đồ như ảnh trên. Đầu tiên ta thay t bằng logarit cơ số a của b ở đẳng thức bên phải.

Như vậy, phương trình logarit luôn có chữ log. Nếu phương trình có thêm số mũ nghĩa là biến số được nâng lên thành lũy thừa thì đó là phương trình hàm mũ. Số mũ sẽ được đặt sau một số: 

Tổng quát:

Logarit: Log_ax = y

Số mũ: a^y = x

Các thành phần của công thức Logarit

Ví dụ công thức logarit: log₂8=3

Các thành phần của công thức logarit: Log là viết tắt của logarit. Cơ số là 2. Đối số là 8. Số mũ là 3.

Tính chất của logarit

Tính chất của logarit giúp bạn giải các phương trình logarit và hàm mũ. Nếu thiếu đi các tính chất logarit này, bạn sẽ không thể giải được phương trình logarit. Tính chất của logarit chỉ dùng được khi cơ số và đối số của logarit dương (điều kiện cơ số a # 1 hoặc 0).

Bảng tóm tắt toàn bộ các công thức Logarit

Quy tắc tính Logarit

Logarit của một tích

Công thức logarit của một tích như sau: log_α(ab)=log_αb+log_αc ; Điều kiện: a, b, c đều là số dương với a # 1.

Đây là logarit hai số a và b thực hiện theo phép nhân thông qua phép cộng logarit ra đời vào thế kỷ 17. Sử dụng bảng logarit, ta sẽ đưa logarit về cơ số a = 10 là logarit thập phân sẽ dễ dàng tra bảng, tính toán hơn. Logarit tự nhiên với hằng số e là cơ số (khoảng bằng 2,718) được áp dụng thuận tiện trong toán học. Logarit nhị phân có cơ số 2 được dùng trong khoa học máy tính.

Nếu muốn thu nhỏ phạm vi các đại lượng, bạn dùng thang logarit.

Logarit của lũy thừa

Ta có công thức logarit như sau: log_ab^α=α log_ab; điều kiện với mọi số α, a và b là số dương với a # 1.

Công thức logarit và cách giải nhanh

Về công thức đạo hàm logarit và cách giải bài tập logarit nhanh, bạn sẽ cần quan tâm đến logarit hàm số lũy thừa, hàm số logarit và công thức mũ logarit. Công thức logarit tuy không khó nhưng dễ nhầm lẫn và thiếu sót điều kiện logarit khi làm nhiều dạng toán khác nhau. Mẹo để bạn làm tốt bài tập logarit là học kỹ lý thuyết, hiểu chắc chắn vấn đề sẽ giúp bạn tránh được điều này. Đồng thời ghi nhớ công thức logarit nhanh bằng cách giải bài tập logarit lặp đi lặp lại nhiều lần và thử các dạng toán khác nhau.

Cách sử dụng bảng đạo hàm Logarit

Với bảng đạo hàm logarit, bạn sẽ tính toán nhanh hơn rất nhiều so với việc sử dụng máy tính, đặc biệt khi muốn tính toán nhanh hoặc nhân số lớn, sử dụng bảng logarit thuận tiện hơn cả.

Cách tìm logarit nhanh

Để tìm logarit nhanh, bạn cần chú ý các điều sau đây:

• Chọn bảng đúng: Hầu hết các bảng đạo hàm logarit là cho logarit cơ số 10 được gọi là logarit thập phân.
• Tìm ô đúng: Giá trị của ô chính tại các giao điểm của hàng dọc và hàng ngang.
• Tìm số chính xác nhất bằng cách dùng các cột nhỏ hơn ở phía bên phải của bảng (Cách này sử dụng trong trường hợp số có 4 hoặc nhiều hơn).
• Tìm tiền tố trước một số thập phân: Bảng đạo hàm của log cho bạn biết tiền tố trước một số thập phân. Phần sau dấu phẩy tên là mantissa.
• Tìm phần nguyên. Cách này dễ tìm nhất đối với hàm log cơ số 10. Bạn tìm bằng cách đếm số còn lại của số thập phân và trừ đi một chữ số.

Cách tìm logarit nâng cao

Muốn giải những phương trình mũ và logarit nâng cao, bạn cần lưu ý những điều sau đây:

• Hiểu hàm số logarit là gì? Ví dụ, 10² là 100, 10³ là 1000. Như vậy số mũ 2, 3 là logarit cơ số 10 của 100 và 1000. Mỗi bảng công thức log chỉ có thể sử dụng được với một cơ số nhất định. Cho đến nay, loại bảng công thức log phổ biến nhất là logarit cơ số 10, còn gọi là logarit phổ thông.
• Xác định tính chất của số mà bạn muốn tìm logarit
• Khi tra bảng đạo hàm logarit, bạn nên cẩn thận dùng ngón tay tra hàng dọc ngoài cùng bên trái để tính logarit trong bảng. Sau đó, bạn trượt ngón tay để tra kết quả ở điểm giao giữa hàng dọc và hàng ngang.
• Nếu bảng logarit có thêm bảng phụ nhỏ dùng để tính toán phép tính lớn hoặc để tìm giá trị chính xác hơn, bạn trượt tay đến cột được đánh dấu bằng chữ số tiếp theo của số bạn đang tìm kiếm trong bảng đó 
• Thêm các số được tìm thấy trong 2 bước trước đấy với nhau.
• Thêm đặc tính: Khi tra điểm giao của hai hàng ra số cần tìm, bạn thêm đặc tính với mantissa ở trên để có được kết quả tính logarit của mình.

Mẹo nhớ nhanh các công thức tính Logarit

Để nắm chắc kiến thức liên quan đến đạo hàm ln, các bạn có thể áp dụng 6 phương pháp sau đây:

• Nắm vững kiến thức nền tảng về Logarit, tập xác định của hàm số logarit, bảng tổng hợp các công thức Logarit cơ bản
• Vì số lượng công thức log nhiều như vậy nên các bạn có thể sử dụng giấy nhớ để ghi lại các công thức và dán tại những vị trí trong nhà mà mình hay quan sát, đặc biệt là bàn học.
• Một cách phổ biến hơn là luyện tập, giải thật nhiều các bài tập logarit cơ bản và nâng cao để nắm chắc kiến thức hơn.
• Học nhóm và tham khảo ý kiến thầy cô, bạn bè sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về các kiến thức cơ bản và nâng cao của công thức đạo hàm logarit
• Tham khảo các video, bài giảng qua các trang mạng liên quan đến đạo hàm ln

Ứng dụng công thức logarit giải bài tập

Công thức logarit vận dụng vào nhiều dạng bài tập logarit khác nhau như tìm điều kiện xác định của biểu thức chứa logarit, tập xác định của log,  biến đổi đạo hàm của log, so sánh biểu thức logarit. Các bài tập này đều là nền tảng cho phần đồ thị hàm logarit mà chúng ta sẽ được tìm hiểu ở những bài học tiếp theo.

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức logarit

Ghi nhớ

Chú ý rằng: Khi giải bất phương trình An> 0 cần nhớ:

• n  là số tự nhiên lẻ thì Aⁿ > 0 ⇔ A > 0.
• n  là số tự nhiên chẵn thì Aⁿ > 0 ⇔ A ≠ 0.

Dạng 2: Rút gọn và tính giá trị biểu thức logarit

Dạng 3: Biểu diễn logarit theo các logarit đã biết

Ghi nhớ

Để giải quyết bài toán biểu diễn hàm logarit theo các logarit đã biết, chúng ta có thể sử dụng một trong hai cách:

• Cách 1: Sử dụng các tính chất của logarit.

• Cách 2: Sử dụng MTCT.

Thủ thuật dùng máy tính Casio giải phương trình logarit

Phương pháp hệ số hóa biến

• Bước 1 : Dựa vào hệ thức điều kiện buộc của đề bài chọn giá trị thích hợp cho biến
• Bước 2 : Tính các giá trị liên quan đến biến rồi gắn vào A, B, C nếu các giá trị tính được lẻ
• Bước 3 : Quan sát 4 đáp án và chọn đáp án chính xác

Phương pháp casio

Tính giá trị của a = log₂3. Vì giá trị của a là một số lẻ, vậy ta lưu a vào A

Tính giá trị của b = log₅3 và lưu vào B

Kết quả hiển thị của máy tính Casio là 1 giá trị khác 0 vậy đáp án A sai

3. Phương pháp tự luận

Các bạn học sinh hãy sử dụng các công thức Logarit mà chúng tôi đã thống kê theo bảng rất dễ thuộc và ghi nhớ để vận dụng vào giải các bài tập, phương trình logarit thật thuần thục nhé!